d'onde, substituindo estes valores nas equações (s'), em todos os termos de ordem superior á primeira,

Finalmente obtem-se os valores de xe y, exactos até ás quantidades de terceira ordem inclusivamente, tirando-os das equações (8"), que dão

Pondo nas expressões (7) em vez dos 'cocfficientes P, Q, etc., p, q, etc., os seus valores, e aproveitando só os termos de terceira ordeni, vem, attendendo ás duas ultimas hypotheses (a),

Elevando ao quadrado cada uma d'estas egualdades, aproveitando até os termos de 4.a ordem inclusive (*) e sommando os resultados teremos

É necessario eliminar d'esta expressão a quantidade x', desconhecida por hypothese, pois que se suppõe que os dados do problema são as coordenadas geographicas do ponto M, os lados MM' e MM e os seus azimuthos A' e A'".

(+) Estes valores podem calcular-se com toda a exactidão até ás quantidades de 4. ordem inclusivamente, apezar de não se ter levado a approximação senão até á 3.a ordem nos valores de A e ; porque, não havendo nas expressões d'estas quantidades termo algum que não tenha por factor alguma das quantidades que se consideram como muito pequenas, os termos de ordem superior å terceira, ainda mesmo nos productos pelos termos mais consideravcis de A e 4, dariam para os quadrados d'estas quantidades termos de ordem superior á quarta.

.

A primeira formula do n.o 368 dá a em funcção de x; notando porém que não entra na expressão de U2 senão em termos de terceira e quarta ordem, reconhece-se que é sufficiente achar os valores de sena' e tga' exactos até ás quantidades de primeira ordem. Virá pois, sem difficuldade,

Estes valores postos na expressão de U2 dão, attendendo sempre à ordem da approximação exigida,

a2[1 + • sen2 x]+o2[1 +•][1 + Atgλ [—2 U' cos A' ( 1+ tg2 x)

U2=
= 42

த2 A

Pela mesma razão é necessario ainda substituir em (1) os valores de A='-" e ("— q') cos x' expressos nos dados do problema. Ora as duas primeiras equações do n.o 368 dão sem difficuldade

plicar por toda a expressão de (p'-') cosa, que é exactamente egual ao segundo membro da terceira formula do n.o 368, com os signaes trocados, por isso que o se que está no primeiro membro d'essa formula representa, segundo a notação de Puissant, a differença pp. É por tanto necessario deduzir da primeira formula do numero citado o valor de cos x até os termos de 2.a ordem inclusivamente.

cos) = cos x

x' => — U cos A' (1 — 1. sen2 ›) — 1 U12 sen2 A'tg»,

2

1

— — U12 cos 2 A' cos 2 + U' cos A' (1— — e sen2 ») sen › +1 U2 sen2 A' tg › sen ›,

1

1

= 1 + U' cos A' tg a (1 — sen2) + U'2 sen2 A' tg2x — ¦ U12 cos2 A'

Multiplicando esta expressão pelo segundo membro, tomado com signal contrario, da expressão de Ao cosx que vem no mesmo n.o 368, acha-se, aproveitando só os termos de 3.a ordem, e fazendo as reducções, Nne

+[U' cos A'— U' cos A'] U sen 4" tg x [1———. sen2x]

+[U!13 sen All cos2 A" — U13 sen A' cos2 4'] (+tg2 x)

+[U'senA" —U'sen4'] U12sen2A'tg2—1U12cos2A'[ UsenA" — U'senA'

(3)

Estes valores de ▲ e têm de ser postos em (1); mas, para tornar mais facil o calculo, formemos primeiro os quadrados e productos d'estas quantidades, a2, 2, 4o2, ap2 U' cos A',

2

▲2 U' cos A', a2 2, e a' que entram naquella equação, aproveitando os termos de 4. ordem. Teremos:

12=[ U' cos A" — U' cos 4']2 +}{tg2 2 [U'"2 sen2 A"'— U12 sen2 4' ]

2

( +[U13 sen2 A' cos A'— Ull sen2 4" cos 4"]+tg2)

+[U" cos A" U'cos A']+[U2 sen2 A-U2 sen2 4"]tg a sen2 a

+ [Ulla cos2 A"— U12 cos2 A']sen à cos >

+[U" cos A"— U' cos 4'] sen* 2.

2

A'—

U'' sen A"—U' sen A']2 + [U' cos A'- U" cos A"]2 U2 sen2 A" tg2 2

י

[U'' sen A"— U' sen A'] [U" cos A'— ' cos A']

^ ̧2 =[ U'' sen A'— U'sen A']+[U" sen A'U' sen A'][ U2sen2A"— U12 sen2A']tg ›

- 2[ U" cos A" — U' cos A']2U' sen A'' tg a

1

[ U" ́sen A'— U' sen A']2[ U' cos A'— U' cos A']( 1 + sen2 ).

Os outros productos são

A'] U' cos A',

A42 U' cos A'= [U'' sen A'— U' sen A'][U" cos A"— U' cos A'

•^2 U′ cos A' = .[ U' cos A'— U' cos A']'U' cos A',

Observe-se agora que no valor de z, que se procura, (n.o 369 da Geod. de Puis.), só poderá haver termos dependentes do achatamento além d'aquelle que representa a terça parte da área do triangulo; reduzindo-se todos os mais a zero por isso que se deverá recahir no caso dos triangulos esphericos muito pequenos quando se suppozer nulla a excentricidade.

Assim, com quanto esta supposição careça ainda de ser confirmada, o melhor caminho a seguir para determinar o valor de U2 será procurar primeiro em que se tornam os termos dependentes da excentricidade depois da substituição dos valores precedentes em (1). Nem esses termos podem reduzir-se com outros, e por tanto é mister que sejam separadamente nullos para que tenha logar o theorema que se quer demonstrar.

Acham-se todos os termos que tem por factor a primeira potencia de substituindo successivamente em (1): -1.° os termos dos valores precedentes, em que não entra aquella quantidade, em todos os termos de (1) em que ella entra na primeira potencia; - 2.° os termos dos mesmos valores, que tem por factor, em todos os termos de (1) independentes d'esta quantidade. Nestas substituições deve haver todo o cuidado tanto para não omittir algum termo d'ordem inferior áquella que se aproveita, como para não conservar algum d'ordem superior.

Fazendo assim o calculo com a attenção que elle requer, acha-se para o valor do coefficiente da primeira potencia de no segundo membro de (1), a expressão:

reduzindo-se um com o outro os dois termos independentes da latitude.

(a)

Neste coefficiente, a que se deu a fórma (a) para maior brevidade na exposição, os va lores das quantidades a, ß, y e ♪, são:

U12

U112 sen2 A' ] + [ U112 sen2 A'' — U12 sen2 A'

U" sen A"'—U'sen A' ]U''senA"- Ulsen A"-U'sen4'

]{[U'sen'A'— U''sen'4"]-[U12son' A'—U' sen3A"] {=0;