1 — cos ( A—B) = 2 sin' ¦ (A—B)=("-") cos A cos B,

d'où

b

2 sin (A—B) cos ¦ (A—B),

(b+c) (b −c)

26

cos B-cos A

cos A cos B

b

2sin(A-B) sin (A+B)

cos A cos B

cos A cos B=2sin(A—B)cos;(A-B)=2sin;(A—B)sin;(A+B);

sin; (A+B) = (†) cos¦ (A—B).

... (2);

connaissant (A+B) par la formule (2), et ÷ (A—B) par la formule (1), on aura les deux distances, les deux ombres ou les deux tangentes, et les deux sécantes ou les deux hypoténuses; on n'en aurait aucun besoin pour connaître l'heure; mais les Indiens ne savaient pas calculer le triangle sphérique d'ailleurs, on peut bien avoir la différence des deux ombres, mais comment avoir celle des hypoténuses? Ce problème n'est donc qu'un amusement; les Indiens ne pouvaient chercher les angles au sommet du gnomon, ni les angles aux deux ombres.

A ce problème inutile ils en ont attaché plusieurs autres qui ne sont pas plus intéressans et qui sont plus faciles. Ils supposent que l'ombre du gnomon est produite par une lampe placée derrière à une certaine distance; ce sont des problèmes de triangles rectangles semblables dont les côtés inconnus se calculent par des règles de trois.

Troisième partie. Du Kutuka, c'est-a-dire en général des problèmes indéterminés du premier degré.

Voici le premier. Trouver a tel que

ax + b

=e, c'est-à-dire un nombre

C

entier.

On trouve aisément x= ecb; il s'agit donc de trouver un nombre

a

entier e qui, multiplié par c, deviendra divisible exactement par a quand on aura retranché b du produit ec.

Il y a des kutukas de plusieurs espèces : celui qu'on appelle fixé sert aux astronomes pour trouver le nombre de jours écoulés depuis le commencement du calpa.

On ne connaît que la fraction de seconde qui termine le mouvement de la planète dans l'intervalle écoulé.

De cette fraction on remonte aux secondes, aux minutes, aux degrés, au nombre de révolutions et par conséquent au nombre de jours; on n'a pas même besoin de savoir la planète dont il s'agit; le calcul la fera découvrir. On trouve en note un exemple du calcul; je n'ai pas eu le courage de le vérifier. On voit que ce problème n'est pas d'une grande utilité, et, dans tous les cas, il ne convient qu'à l'Astronomie indienne.

Quatrième partie. Des transpositions ou permutations.

Il s'agit de trouver en combien de manières on peut arranger un nombre de chiffres donné, et jusque-là, il n'y a rien que de très-ordinaire ; mais on demande en outre qu'elle somme formeront toutes les sommes partielles que composeront ces chiffres dans toutes leurs permutations. La solution est aussi simple qu'on puisse le desirer; si ce problème n'est pas utile, on ne peut nier qu'il ne soit curieux.

L'ouvrage est terminé par un appendice sur la manière dont on enseigne aujourd'hui l'Arithmétique dans les écoles indiennes. Les jeunes élèves s'instruisent les uns les autres, et l'ordre qui règne en ces écoles a beaucoup d'analogie avec celui des écoles modernes établies depuis peu en Angleterre et dans plusieurs états de l'Europe, et que l'on cherche à introduire en France.

Le Lilawati, en ce qui concerne l'Arithmétique, n'a que deux avantages sur le traité de Planude, c'est qu'il est d'un indien, et qu'il est plus ancien d'environ 200 ans ; car du reste les opérations et les démonstrations sont bien plus détaillés dans l'ouvrage du moine grec.

L'Algèbre de Bhascara Akarya est plus étendue, plus riche en problèmes que le livre de Planude, qui n'a résolu que deux questions en tout; mais les autres qu'on trouve dans le Lilawati ne supposent pas de connaissances plus relevées. Si la science des Indiens est toute entière dans le livre dont on vient de voir l'extrait, on ne concevra guère comment ce peuple aurait pu avoir une Astronomie véritable et qui lui appartint. Ses notions algébriques ne sont guère plus variées ni plus profondes, ses notions géométriques ne s'étendent qu'aux trois côtés du triangle rectangle, et au théorème des triangles semblables dont les côtés semblables sont proportionnels. Ajoutez-y celui des segmens de la base d'un triangle quelconque et un seul théorème trigonométrique, vous aurez toute la Géométrie des Indiens; car je ne parle pas de leur règle inexacte pour trouver la corde d'un arc quelconque. Nous conclurons avec M. Taylor, que la lecture de cet ouvrage n'est guère propre à nous faire admettre comme fondées leurs prétentions au titre d'inventeurs. Il faut avouer en même tems que le Sourya Siddhanta renferme plusieurs propositions omises ou ignorées par Bhascara Akarya. Il est à desirer pourtant que M. Taylor, qui possède le Siddhanta Siromani, nous en donne une traduction; il est à croire qu'elle ne modifiera pas sensiblement l'opinion que nous nous sommes faite du savoir des Indiens; mais elle déciderait irrévocablement une question qui au reste ne semble plus douteuse.

CHAPITRE VI.

Bija Ganita.

Le Bija Ganita, dont il est question plusieurs fois dans le chapitre précédent, est, comme nous avons dit, un traité d'Algèbre, dont la traduction, imprimée en 1813, nous est parvenue l'année suivante. Le frère du traducteur a eu la complaisance de m'en adresser un exemplaire, duquel je vais extraire tous les passages qui ont quelque rapport à l'Arithmétique ou à l'Astronomie des Indiens, et dont l'équivalent ne se trouve pas dans le Lilawati. M. Strachey avoue, dans son Introduction, qu'il n'a point étudié le sanscrit.

« Ce qui fait l'incertitude et la difficulté de ces recherches, c'est que les vieux manuscrits des livres de mathématiques en sanscrit sont excessivement rares, et que dans les derniers tems, les idées des Grecs, des Arabes et des Européens modernes ont été introduites dans les livres sanscrits. Il n'est pourtant pas impossible de distinguer ce qui appartient véritablement aux Indiens, d'avec ce qu'ils ont pu emprunter aux au tres

nations. >>

L'Astronomie des Indiens était en partie fondée sur l'Algèbre. Bhascara dit quelque part qu'il serait aussi absurde de vouloir écrire sur l'Astronomie sans connaître l'Algèbre, qu'il le serait de faire des vers sans aucune connaissance de la grammaire.

M. Davis avait extrait un livre moderne d'Astronomie qu'il croit composé du tems du Jy Siny, qui régnait de 1694 à 1744. On y voyait que Bhascara calculait les sinus et les cosinus d'après les principes des équations indéterminées du second degré; on y trouvait les racines approchées des carrés imparfaits, par des équations indéterminées du premier degré. On cite cette époque comme celle de l'introduction de la science européenne.

« Nous voyons chez les Indiens, dans le 12° siècle, des notions d'Algèbre qui étaient alors totalement ignorées en Europe; nous voyons que les calculs astronomiques des Indiens étaient fondés sur ces règles algébriques. Il n'est donc pas possible de douter que les Indiens n'aient eu fort anciennement des connaissances en Mathématiques. »

Hist. de l'Ast. anc. Tom. I.

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Notre intention n'a jamais été de nier que les Indiens aient fait d'euxmêmes des progrès assez remarquables dans la science du calcul, ni même qu'ils aient eu fort anciennement quelques notions vagues d'Astronomie; nous croyons avoir prouvé qu'ils n'avaient ni Trigonométrie, ni Astronomie mathématique, ni instrumens; qu'on ne pouvait citer d'eux aucune observation, aucune méthode exacte, aucune détermination sûre et précise. Bhascara, qui vivait dans le 12° siècle, ne peut en rien infirmer ce qui est établi tant de par des tems antérieurs. preuves pour On voit au commencement du Bija Ganita que les Indiens, quoiqu'ils n'eussent aucun signe, aucun caractère qui remplaçât le + et le — des modernes, connaissaient cependant ces deux règles que le produit de deux quantités positives ou toutes deux négatives, était positif, et que le produit d'une quantité positive par une négative, était négatif; que tout carré était positif; mais que la racine d'un carré pouvait avoir le signe aussi bien que le signe +, suivant les circonstances, et enfin que la racine d'un carré négatif était une chose absurde,

On ne voit point ici de caractère pour exprimer les inconnues; ils les désignaient par des noms de couleurs. Une seconde inconnue s'appelait noir, une troisième bleu, une quatrième jaune, une cinquième rouge, Il en résulterait, ce me semble, que les Indiens avaient le fond de la science algébrique, mais qu'ils n'en possédaient pas véritablement la notation. Nous n'avons trouvé que des règles et nulle formule dans le Lilawati; nous n'en trouverons pas davantage dans le Bija.

La multiplication des couleurs se fait comme la multiplication des nombres complexes. M. Strachey ne nous dit pas comment se nommait la première inconnue; supposons qu'elle s'appelât blanc, on voit un exemple de multiplication de (3 blancs + 2 noirs + 1 bleu + 1) par (3blancs+2"+2bleus +1), c'est-à-dire la formation du carré; elle se fait comme celle de 3' 2" 1 1, dans notre ancien toisé, ou si l'on veut, comme celle de (3x+2y+2z+1), et c'est ainsi que M. Strachey la présente.

On voit ensuite une arithmétique des radicaux; on ne nous dit pas si les Indiens avaient un signe radical; il y a grande apparence que non, Le traducteur emploie ce signe; il montre comment on faisait l'addition, la soustraction, la réduction, la multiplication, la division; comment on en trouvait les carrés et les racines, et ces méthodes sont celles que nous employous nous-mêmes, soit qu'elles nous soient venues de l'Inde, soit que nous les ayons imaginées de notre côté, ce qui me parait probable.